Задание 22 — №311662

Шаг 1. Запишем исходную функцию: $y=\frac{|x|-4}{x^2-4|x|}$. Заметим, что $x^2$ можно представить как $|x|^2$, поэтому в знаменателе имеем $x^2-4|x|=|x|^2-4|x|=|x|\cdot(|x|-4)$.

Шаг 2. При условии, что $|x|-4\neq0$ (то есть $|x|\neq4$) и $|x|\neq0$ (то есть $x\neq0$), можно сократить $|x|-4$ в числителе и знаменателе. Получаем упрощённую функцию: $y=\frac{1}{|x|}$. При этом $x\neq0$, $x\neq4$ и $x\neq-4$, так как в этих точках исходное выражение не определено.

Шаг 3. Построим график функции $y=\frac{1}{|x|}$. При $x>0$, так как $|x|=x$, функция имеет вид $y=\frac{1}{x}$ – ветвь гиперболы. При $x<0$, $|x|=-x$, и функция равна $y=\frac{1}{-x}$, что получаем симметрией относительно оси ординат. Важно отметить, что точки, где $|x|=4$, то есть $(4,\frac{1}{4})$ и $(-4,\frac{1}{4})$, не принадлежат графику (удалённые точки).

Шаг 4. Определим, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не пересекается с графиком функции. Прямая $y=kx$ может не иметь общих точек с графиком, если она горизонтальна (то есть $k=0$) или если она проходит через одну из удалённых точек, где функция не определена.

Шаг 5. Найдём $k$, при которых прямая проходит через удалённые точки.

Подставим точку $(4,\frac{1}{4})$ в уравнение прямой: $\frac{1}{4}=k\cdot4$. Решая это уравнение, делим обе части на $4$ и получаем $k=\frac{1}{16}$.

Аналогично, для точки $(-4,\frac{1}{4})$ имеем уравнение: $\frac{1}{4}=k\cdot(-4)$, откуда $k=-\frac{1}{16}$.

Таким образом, прямая $y=kx$ не пересекается с графиком функции при значениях $k=0$, $k=\frac{1}{16}$ и $k=-\frac{1}{16}$.