Задание 17 — №340197
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
Условие
В трапеции ABCD AD = 5, BC = 2, а ее площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
В трапеции ABCD AD = 5, BC = 2, а ее площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
Решение
- 1
Найдём среднюю линию трапеции $MN$, которая равна полусумме оснований $AD$ и $BC$:
$$MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{5 + 2}{2} = \frac{7}{2} = 3,5.$$
- 2
Теперь найдём высоту $BH$ трапеции $ABCD$ по формуле площади трапеции $S_{ABCD} = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2}$, где $h$ — высота:
$$28 = \frac{(5 + 2) \cdot h}{2} \Rightarrow 28 = \frac{7h}{2} \Rightarrow h = \frac{2 \cdot 28}{7} = 8.$$
- 3
Поскольку $MN$ — средняя линия, то $BK$ перпендикулярна $KN$. По теореме Фалеса, отрезки $AM$ и $MB$ равны, а также $BK = KH = \frac{BH}{2} = \frac{8}{2} = 4.$
- 4
Теперь найдём площадь трапеции $BCNM$ по формуле $S_{BCNM} = \frac{(BC + MN) \cdot BK}{2}$:
$$S_{BCNM} = \frac{(2 + 3,5) \cdot 4}{2} = \frac{5,5 \cdot 4}{2} = \frac{22}{2} = 11.$$
Ответ: 11