Задание 16 — №339429
Окружность, круг и их элементы
Условие
Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 15° и ∠OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ ABC = 15° и ∠ OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
Решение
- 1
Проведем радиус $OB$. Рассмотрим треугольник $AOB$: так как $AO = OB$ (радиусы окружности), то углы $\circ OAB = \circ ABO = 8^\circ$.
- 2
Теперь рассмотрим треугольник $BOC$: так как $BO = OC$ (радиусы окружности), то угол $\circ BCO = \circ OBC$. Найдем угол $\circ BCO$:
$$\circ BCO = \circ ABC - \circ ABO = 15^\circ - 8^\circ = 7^\circ.$$
- 3
Также можно решить задачу другим способом. Угол $\circ ABC$ является вписанным углом, следовательно, он равен половине дуги, на которую опирается. Таким образом, величина дуги $ADC$ равна $30^\circ$. Дуги $ADC$ и $ABC$ вместе составляют полную окружность, поэтому дуга $ABC$ равна:
$$360^\circ - 30^\circ = 330^\circ.$$
- 4
Рассмотрим угол $AOC$ четырехугольника $AOCB$: он центральный и опирается на дугу $ABC$, следовательно, он равен $330^\circ$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, откуда:
$$\circ BCO = 360^\circ - \circ AOC - \circ ABC - \circ OAB = 360^\circ - 330^\circ - 15^\circ - 8^\circ = 7^\circ.$$
Ответ: 7