Задание 15 — №339406

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катет, прилежащий к углу $30^{\text{o}}$, и гипотенузу $c$ по формуле:

$$S = \frac{1}{2} a c \sin 30^{\text{o}}$$

Так как $\sin 30^{\text{o}} = \frac{1}{2}$, получаем:

$$S = \frac{1}{2} a c \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} a c$$

Подставим значение площади $S = \frac{578 \sqrt{3}}{3}$:

$$\frac{578 \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{4} a c$$

Умножим обе стороны уравнения на $4$:

$$578 \sqrt{3} = \frac{4}{3} a c$$

Отсюда выразим $c$:

$$c = \frac{578 \sqrt{3} \cdot 3}{4a} = \frac{1734 \sqrt{3}}{4a}$$

Теперь воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике с углом $30^{\text{o}}$ длина гипотенузы $c$ равна $2a$:

$$c = 2a$$

Подставим $c = 2a$ в уравнение:

$$2a = \frac{1734 \sqrt{3}}{4a}$$

Умножим обе стороны на $4a$:

$$8a^2 = 1734 \sqrt{3}$$

Теперь выразим $a^2$:

$$a^2 = \frac{1734 \sqrt{3}}{8}$$

Найдём $a$:

$$a = \sqrt{\frac{1734 \sqrt{3}}{8}}$$

Упростим выражение для $a$:

$$a = \sqrt{\frac{1734 \sqrt{3}}{8}} = \sqrt{\frac{1734}{8} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{216.75 \cdot \sqrt{3}}$$

Вычислим $a$:

$$a = \sqrt{\frac{1156}{3}} = \frac{34}{1} = 34$$