Задание 15 — №339385

Обозначим длину катета, лежащего напротив угла $30^{\text{o}}$, как $a$, а длину гипотенузы как $c$. Поскольку в прямоугольном треугольнике угол $30^{\text{o}}$ и угол $60^{\text{o}}$ являются острыми, то второй острый угол равен $180^{\text{o}} - 90^{\text{o}} - 30^{\text{o}} = 60^{\text{o}}$.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и угол между ними по формуле: $$S = \frac{1}{2} a b \sin(60^{\text{o}})$$. Поскольку катет $b$ можно выразить как $b = a \sqrt{3}$ (по свойствам треугольника с углом $30^{\text{o}}$), подставим это в формулу площади:

$$722 \sqrt{3} = \frac{1}{2} a (a \sqrt{3}) \sin(60^{\text{o}})$$.

Зная, что $\tan(60^{\text{o}}) = \sqrt{3}$, упростим уравнение:

$$722 \sqrt{3} = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 722 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$.

Умножим обе стороны на $4$: $$2888 \sqrt{3} = \sqrt{3} a^2$$.

Теперь разделим обе стороны на $\sqrt{3}$:

$$2888 = a^2$$.

Извлечем корень: $$a = \sqrt{2888} = 38.$$. Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла $30^{\text{o}}$, равна $38$.