Задание 20 — №338701
Уравнения, неравенства и их системы
Условие
Решите неравенство $\left( 4x - 6 \right)^2 \geq \left( 6x - 4 \right)^2$.
Решите неравенство ( 4x - 6 )^2 ≥ ( 6x - 4 )^2.
Решение
- 1
Шаг 1. Записываем исходное неравенство: $ (4x-6)^2 \geq (6x-4)^2 $. Переносим правую часть в левую, получаем $ (4x-6)^2 - (6x-4)^2 \geq 0 $.
- 2
Шаг 2. Применяем формулу разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Подставляем $a=4x-6$ и $b=6x-4$, получаем: $$\Bigl[(4x-6)-(6x-4)\Bigr] \cdot \Bigl[(4x-6)+(6x-4)\Bigr] \geq 0.$$
- 3
Шаг 3. Упрощаем каждую скобку. Вычисляем: $ (4x-6)-(6x-4)=4x-6-6x+4=-2x-2 $, и $ (4x-6)+(6x-4)=4x-6+6x-4=10x-10 $. Таким образом, неравенство принимает вид: $ (-2x-2)(10x-10) \geq 0 $.
- 4
Шаг 4. Вынесем общий множитель в каждом выражении: $ -2x-2=-2(x+1) $ и $ 10x-10=10(x-1) $. Получаем: $$-2(x+1) \cdot 10(x-1) = -20(x+1)(x-1) \geq 0.$$
- 5
Шаг 5. Делим обе части неравенства на $-20$. Так как $-20<0$, знак неравенства меняется на противоположный: $$ (x+1)(x-1) \leq 0.$$
- 6
Шаг 6. Решаем неравенство $ (x+1)(x-1) \leq 0 $. Корни данного выражения — $x=-1$ и $x=1$. Произведение двух множителей меньше или равно нулю, когда $x$ лежит между ними, то есть $-1 \leq x \leq 1$. Таким образом, окончательное решение: $[-1; 1]$.
Ответ: [-1; 1]