Задание 20 — №338566
Уравнения, неравенства и их системы
Условие
Решите неравенство $\left( x - 7 \right)^2 < \sqrt{11} \left( x - 7 \right).$
Решите неравенство ( x - 7 )^2 < √(11 ( x - 7 )).
Решение
- 1
Запишем данное неравенство: $ (x-7)^2 < \sqrt{11}(x-7) $. Заметим, что выражение $ \sqrt{11}(x-7) $ имеет смысл только если $x-7>0$, то есть $x>7$.
- 2
Перенесём правую часть неравенства в левую: $ (x-7)^2 - \sqrt{11}(x-7) < 0 $.
- 3
Вынесем общий множитель $x-7$: $ (x-7)\Bigl[(x-7)-\sqrt{11}\Bigr] < 0 $.
- 4
Так как при $x>7$ выполняется $x-7>0$, то для того, чтобы произведение было меньше нуля, должно выполняться неравенство $ (x-7)-\sqrt{11} < 0 $, то есть $x-7 < \sqrt{11}$.
- 5
Таким образом, с учётом условия $x>7$ получаем окончательное решение: $7 < x < 7+\sqrt{11}$.
Ответ: $$7 < x < 7+\\sqrt{11}$$