Задание 20 — №338512

1. Запишем исходное неравенство: $\frac{-10}{(x-3)^2-5} \geq 0$. Заметим, что числитель $-10$ всегда отрицателен, поэтому знак дроби определяется знаком знаменателя $((x-3)^2-5)$.

2. Найдём значения $x$, при которых знаменатель равен нулю. Для этого решим уравнение: $$ (x-3)^2 - 5 = 0.$$ Прежде раскрываем скобки: $$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9,$$ поэтому уравнение превращается в $$ x^2 - 6x + 9 - 5 = 0, $$ то есть $$ x^2 - 6x + 4 = 0. $$

3. Решим квадратное уравнение $x^2 - 6x + 4 = 0$ с помощью формулы корней: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, $$ где $a = 1$, $b = -6$, $c = 4$. Подставляем значения: $$ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}. $$ Упростим: так как $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, получаем $$ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}. $$ Таким образом, критические точки: $x = 3-\sqrt{5}$ и $x = 3+\sqrt{5}$.

4. Методом интервалов анализируем знак дроби $\frac{-10}{(x-3)^2-5}$. Поскольку числитель отрицательный, дробь будет положительной, когда знаменатель отрицателен. Т. е. необходимо, чтобы выполнялось неравенство: $$ (x-3)^2 - 5 < 0. $$ Добавим $5$ к обеим частям и получим $$ (x-3)^2 < 5. $$ Извлекаем корень: $$ -\sqrt{5} < x-3 < \sqrt{5}, $$ что эквивалентно $$ 3-\sqrt{5} < x < 3+\sqrt{5}. $$

5. Таким образом, решением исходного неравенства является промежуток, на котором дробь положительна, а точками разрыва являются $x = 3-\sqrt{5}$ и $x = 3+\sqrt{5}$. Итоговый ответ: $(3-\sqrt{5};\,3+\sqrt{5})$.