Задание 20 — №338505

Запишем исходное неравенство: $\frac{-14}{x^2+2x-15}\leq 0$. Применим метод разложения на множители для знаменателя. Для этого представим $x^2+2x-15$ в виде произведения: $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$.

Найдём критические точки, где знаменатель равен $0$. Решим уравнения: $x+5=0\Rightarrow x=-5$ и $x-3=0\Rightarrow x=3$. При $x=-5$ и $x=3$ выражение не определено.

Разобьём числовую прямую на интервалы, используя найденные точки: $(-\infty,-5)$, $(-5,3)$ и $(3,+\infty)$.

Определим знак дроби $\frac{-14}{(x+5)(x-3)}$ на каждом интервале. Числитель $-14$ всегда отрицателен, а знак дроби зависит от знака знаменателя.

Для интервала $(-\infty,-5)$ выбираем, например, $x=-6$: $x+5=-1$ (отриц.) и $x-3=-9$ (отриц.), их произведение положительно, значит, дробь отрицательная и условие $\leq 0$ выполняется.

Для интервала $(-5,3)$, например, при $x=0$: $x+5=5$ (полож.) и $x-3=-3$ (отриц.), произведение отрицательно, дробь положительная и не удовлетворяет неравенству.

Для интервала $(3,+\infty)$, например, при $x=4$: $x+5=9$ и $x-3=1$ (оба положительны), их произведение положительно, дробь отрицательная, удовлетворяя неравенству.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов, где дробь отрицательная: $(-\infty,-5)\cup (3,+\infty)$.