Задание 22 — №338408

Запишем исходную функцию: $y=\frac{(x^2+2.25)(x-1)}{1-x}$. Заметим, что $x-1=-\,(1-x)$, откуда следует, что $\frac{x-1}{1-x}=-1$ при условии, что $x\neq1$. Таким образом, функция упрощается до $y=-(x^2+2.25)$, то есть $y=-x^2-2.25$. При $x=1$ функция не определена, поэтому точка $(1; -3.25)$ выколота.

Найдём точки пересечения графика параболы $y=-x^2-2.25$ с прямой $y=kx$. Для этого приравняем выражения: $kx=-x^2-2.25$, что переписывается в виде квадратного уравнения $x^2+kx+2.25=0$.

Рассмотрим первый случай – касание. По условию касания (теорема о касательной) дискриминант квадратного уравнения должен быть равен $0$. Вычислим дискриминант: $\Delta=k^2-4\cdot1\cdot2.25=k^2-9$. Приравнивая $\Delta=0$, получаем уравнение $k^2-9=0$, откуда $k^2=9$ и, следовательно, $k=3$ или $k=-3$. Проверим: для $k=3$ корень находится по формуле $x=-\frac{3}{2}=-1.5$, а для $k=-3$ – $x=\frac{3}{2}=1.5$. Оба значения $x\neq1$, значит, точки касания допустимы.

Рассмотрим второй случай – когда прямая проходит через выколоту точку. Подставим $x=1$ в уравнение параболы: $y=-1^2-2.25=-3.25$. Так как для прямой имеем $y=k\cdot1$, то $k=-3.25$. При этом квадратное уравнение $x^2-3.25x+2.25=0$ имеет два корня, один из которых равен $1$ (но эта точка выколота), а второй – другой, поэтому график пересекается с прямой ровно в одной точке.