Задание 22 — №127

Шаг 1. Приведём уравнение параболы $y = x^2 + 2x$ к виду полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем $1$: $x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1$. Это означает, что график параболы можно получить сдвигом графика функции $y = x^2$ на вектор $(-1; -1)$.

Шаг 2. Найдём точки пересечения прямой и параболы. Приравниваем уравнения прямой $y = -2x + p$ и параболы $y = x^2 + 2x$, то есть: $-2x + p = x^2 + 2x$. Переносим все слагаемые в левую часть: $x^2 + 2x + 2x - p = x^2 + 4x - p = 0$.

Шаг 3. Для того чтобы прямая и парабола имели ровно одну общую точку, у квадратного уравнения $x^2 + 4x - p = 0$ должен быть один корень. По теореме о единственном корне квадратного уравнения (условие равенства дискриминанта нулю) необходимо, чтобы $D = b^2 - 4ac = 0$. Здесь $a = 1$, $b = 4$, $c = -p$, поэтому подставляем: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p) = 16 + 4p = 0$.

Шаг 4. Решим уравнение $16 + 4p = 0$. Разделим обе части на $4$: $4 + p = 0$, откуда получаем $p = -4$.

Шаг 5. Подставим $p = -4$ в уравнение пересечения: $x^2 + 4x - (-4) = x^2 + 4x + 4 = 0$. Заметим, что это уравнение можно записать как $(x + 2)^2 = 0$, откуда $x = -2$. Найдём $y$, подставив $x = -2$ в уравнение прямой: $y = -2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$. Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-2; 0)$.