Задание 22 — №314398

Запишем общее уравнение параболы: $y = ax^2 + bx + c$. Подставляя координаты точки $K(0; -5)$, получаем: $-5 = a\cdot0^2 + b\cdot0 + c$, откуда немедленно следует, что $c = -5$.

Подставим координаты точки $L(3; 10)$ в уравнение параболы: $10 = a\cdot3^2 + b\cdot3 + c$. Зная, что $c = -5$, получаем $10 = 9a + 3b - 5$. Прибавляя $5$ к обеим частям, получаем уравнение: $9a + 3b = 15$.

Подставим координаты точки $M(-3; -2)$: $-2 = a\cdot(-3)^2 + b\cdot(-3) + c$. С учетом $c = -5$ это уравнение примет вид: $-2 = 9a - 3b - 5$. Прибавим $5$ к обеим частям, получим: $9a - 3b = 3$.

Решим полученную систему уравнений: $$\begin{cases} 9a+3b=15 \\ 9a-3b=3 \end{cases}$$. Складывая оба уравнения, получаем: $18a = 18$, откуда $a = 1$. Подставляем $a = 1$ в уравнение $9a+3b=15$: $9+3b = 15$, отсюда $3b = 6$ и $b = 2$. Таким образом, уравнение параболы примет вид: $y = x^2 + 2x - 5$.

Найдем координаты вершины параболы. Для этого используем формулу для $x$-координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$ (формула вершины параболы). Подставляем $a = 1$ и $b = 2$: $x_v = -\frac{2}{2\cdot1} = -1$. Чтобы найти $y_v$, подставляем $x_v = -1$ в уравнение: $y_v = (-1)^2 + 2\cdot(-1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6$. Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(-1; -6)$.