Задание 22 — №314407

Шаг 1: Найдём вершину первой параболы $y = -x^2 + 2p\,x + 3$. По формуле для абсциссы вершины $x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a}$ при $a = -1$ и $b = 2p$ получаем $x_{\text{в}} = -\frac{2p}{2(-1)} = p$. Подставляя $x = p$ в уравнение, находим ординату: $y_{\text{в}} = -p^2 + 2p\cdot p + 3 = p^2 + 3$. Вершина первой параболы: $(p,\, p^2+3)$.

Шаг 2: Найдём вершину второй параболы $y = x^2 - 6p\,x + p$. Здесь $a = 1$ и $b = -6p$. По формуле $x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a}$ получаем $x_{\text{в}} = -\frac{-6p}{2\cdot 1} = 3p$. Подставляя $x = 3p$ в уравнение, получаем $$y_{\text{в}} = (3p)^2 - 6p\cdot 3p + p = 9p^2 - 18p^2 + p = -9p^2+p$$. Вершина второй параболы: $(3p,\, -9p^2+p)$.

Шаг 3: Для того чтобы вершины парабол находились по разные стороны оси $x$, их $y$-координаты должны иметь разные знаки. Так как $y_{\text{в}} = p^2+3$ у первой параболы всегда положительно, требуется, чтобы у второй параболы $y_{\text{в}} = -9p^2+p$ было отрицательно, то есть $-9p^2+p < 0$. Умножим это неравенство на $-1$ (при этом знак неравенства меняется): $9p^2-p > 0$, что эквивалентно $p(9p-1) > 0$.

Шаг 4: Решим неравенство $p(9p-1) > 0$. Произведение двух множителей положительно, когда оба множителя положительны или оба отрицательны. Если $p > 0$, то $9p-1 > 0$ при $p > \frac{1}{9}$. Если $p < 0$, то $9p-1 < 0$ автоматически. Таким образом, условие $p(9p-1) > 0$ выполняется, если $p < 0$ или $p > \frac{1}{9}$.