Задание 22 — №314458

Найдем координату вершины первой параболы $y=-x^2-6mx+m$. По формуле для координаты вершины параболы $x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}$, где $a=-1$ и $b=-6m$, получаем: $x_{\text{в}}=-\frac{-6m}{2\cdot(-1)}=-3m$.

Подставим найденное значение $x_{\text{в}}=-3m$ в уравнение $y=-x^2-6mx+m$ для вычисления координаты вершины $y_{\text{в}}$: $$y=-(-3m)^2-6m(-3m)+m=-9m^2+18m^2+m=9m^2+m.$$

Для второй параболы $y=x^2-4mx-2$ находим координату вершины по формуле $x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}$. Здесь $a=1$ и $b=-4m$, поэтому: $$x_{\text{в}}=-\frac{-4m}{2\cdot1}=2m.$$

Подставляем $x_{\text{в}}=2m$ во второе уравнение, чтобы найти соответствующую координату $y_{\text{в}}$: $$y=(2m)^2-4m(2m)-2=4m^2-8m^2-2=-4m^2-2.$$

Вершины парабол расположены по одну сторону от оси $x$, если их $y$-координаты имеют одинаковый знак. Получили $y_{1}=9m^2+m$ и $y_{2}=-4m^2-2$. Так как $y_{2}$ всегда меньше нуля, для совпадения знаков необходимо, чтобы и $y_{1}<0$.

Решим неравенство $9m^2+m<0$. Вынесем общий множитель: $$m(9m+1)<0.$$ По правилу, произведение двух чисел меньше нуля, когда они имеют разные знаки. Это условие выполнено при $-\frac{1}{9}<m<0$.