Задание 22 — №338207

Шаг 1. Записываем исходную функцию: $y = -2 - \frac{x^4 - x^3}{x^2 - x}$. Выносим общий множитель в числителе: $x^4 - x^3 = x^3 \cdot (x-1)$, а в знаменателе: $x^2 - x = x \cdot (x-1)$. Обращаем внимание, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$, так как в этих точках знаменатель равен нулю.

Шаг 2. Сокращаем общий множитель $(x-1)$ в дроби (используем свойство сокращения общих множителей): \[ y = -2 - \frac{x^3 \cdot (x-1)}{x \cdot (x-1)} = -2 - \frac{x^3}{x} = -2 - x^2. \] Таким образом, функция принимает вид $y = -x^2 - 2$ при $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Шаг 3. Построим график функции $y = -x^2 -2$. Поскольку стандартная парабола $y = x^2$ при отражении относительно оси $Ox$ превращается в $y = -x^2$, а затем сдвигается вниз на $2$ единицы, график получается параболой с вершиной $(0,-2)$. Однако точки $(0,-2)$ и $(1,-3)$ выколоты, т.к. $x=0$ и $x=1$ не входят в область определения.

Шаг 4. Определяем пересечение графика с прямой $y = m$. Приравниваем: $-x^2 - 2 = m$. Переносим $-2$ вправо: $-x^2 = m + 2$, откуда получаем $x^2 = -m - 2$. Для наличия двух решений необходимо, чтобы выражение под корнем было строго положительным: $-m-2 > 0$, то есть $m < -2$.

Шаг 5. Анализируем влияние выколотых точек.

При $m = -3$ уравнение $x^2 = -(-3)-2 = 1$ даёт два решения $x = \pm 1$, но точка $(1,-3)$ выколота, поэтому пересечение происходит только в одной точке.

Аналогично, при $m = -2$ получаем единственное решение $x = 0$, что также не входит в график.

Таким образом, прямая $y = m$ пересекает график ровно в двух точках, если $m \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2)$.