Задание 22 — №311576
Функции и их свойства. Графики функций
Условие
Известно, что парабола проходит через точку $B(-1;\ -\frac{1}{4})$ и ее вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую $y = -16.$
Известно, что парабола проходит через точку B(-1; -(1)/(4)) и ее вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую y = -16.
Решение
- 1
Так как вершина параболы находится в начале координат, по формуле параболы с вершиной $(0,0)$ имеем уравнение $y=ax^2$.
- 2
Поскольку парабола проходит через точку $B(-1, -\frac{1}{4})$, подставим координаты этой точки в уравнение: $-\frac{1}{4}=a\cdot(-1)^2$.
- 3
Вычисляем: $(-1)^2=1$, откуда получаем $a=-\frac{1}{4}$.
- 4
Подставляем найденное значение $a=-\frac{1}{4}$ в уравнение параболы и получаем её уравнение: $y=-\frac{1}{4}x^2$.
- 5
Для нахождения точек пересечения с прямой $y=-16$ подставляем $y=-16$ в уравнение параболы: $-\frac{1}{4}x^2=-16$. Умножая обе части на $-4$, получаем уравнение $x^2=64$, из которого следует $x=\pm8$. Таким образом, парабола пересекает прямую в точках $(8,-16)$ и $(-8,-16)$.
Ответ: $y=-\frac{1}{4}x^2, (8,-16), (-8,-16)$