Задание 22 — №49

Пусть $t=x^2$. Тогда числитель $x^4-13x^2+36$ можно записать как $t^2-13t+36$.

Найдем корни уравнения $t^2-13t+36=0$. По обратной теореме Виета сумма корней равна $13$, а произведение равно $36$. Подставляя, получаем факторизацию: $$t^2-13t+36=(t-4)(t-9),$$ где $t=4$ и $t=9$.

Возвращаясь к переменной $x$, подставляем $t=x^2$ и получаем: $$x^4-13x^2+36=(x^2-4)(x^2-9).$$ Далее раскладываем каждое выражение как разность квадратов: $$x^2-4=(x-2)(x+2) \quad \text{и} \quad x^2-9=(x-3)(x+3).$$ Поэтому: $$x^4-13x^2+36=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3).$$

Запишем исходную функцию: $$y=\frac{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}.$$ При условии, что $x\neq -2$ и $x\neq 3$, можно сократить общие множители, получая: $$y=(x-2)(x+3)=x^2+x-6.$$ Таким образом, график является параболой с выколотыми точками в точках $(-2,-4)$ и $(3,6)$.

Найдем, при каких значениях параметра $c$ прямая $y=c$ пересекает график ровно в одной точке.

Для этого решим уравнение пересечения: $$x^2+x-6=c \quad \Longrightarrow \quad x^2+x-(6+c)=0.$$ Рассмотрим два случая.

Случай 1. Если уравнение имеет двойной (кратный) корень, то дискриминант равен нулю. По теореме о дискриминанте: $$D=1+4(6+c)=0.$$ Отсюда: $$1+24+4c=0 \quad \Rightarrow \quad 4c+25=0 \quad \Rightarrow \quad c=-\frac{25}{4}.$$ Корень $x=-\frac{1}{2}$ не совпадает с выколотыми точками.

Случай 2. Если уравнение имеет два корня, и один из них совпадает с точкой, где функция не определена.

При $x=-2$ подстановкой получаем: $$(-2)^2+(-2)-6=4-2-6=-4,$$ то есть если $c=-4$, один корень равен $-2$ (выколотая точка), а другой, $x=1$, является точкой пересечения.

Аналогично, при $x=3$: $$3^2+3-6=9+3-6=6,$$ то есть если $c=6$, корень $x=3$ (выколотая точка) исключается, а второй корень $x=-4$ дает пересечение.

Таким образом, прямая $y=c$ имеет ровно одну общую точку с графиком функции при значениях $c=-\frac{25}{4}$, $c=-4$ или $c=6$.