Задание 22 — №338288

Запишем исходное выражение: $y=\frac{(x+4)(x^2+3x+2)}{x+1}$. Найдём корни многочлена $x^2+3x+2$. По обратной теореме Виета, если сумма корней равна $-\frac{3}{1}=-3$, а их произведение $\frac{2}{1}=2$, то корни равны $x_1=-1$ и $x_2=-2$. Таким образом, получаем разложение: $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$.

Подставляем разложение в исходное выражение: $y=\frac{(x+4)(x+1)(x+2)}{x+1}$. Поскольку в выражении присутствует общий множитель $(x+1)$, который равен нулю при $x=-1$, отмечаем, что $x\neq -1$. Сокращая $(x+1)$, получаем: $y=(x+4)(x+2)$.

Раскроем скобки: $(x+4)(x+2)=x^2+6x+8$. Чтобы лучше понять форму графика, представим этот многочлен в виде полного квадрата.

Для этого выделим полный квадрат: $x^2+6x+8=(x^2+6x+9)-1=(x+3)^2-1$.

Таким образом, график функции получается как парабола $y=(x+3)^2-1$ с выколотой точкой, поскольку при $x=-1$ функция не определена.

Подставим $x=-1$ в упрощённое выражение: $y=(-1)^2+6(-1)+8=1-6+8=3$, то есть отсутствует точка $(-1;3)$.

Найдём значения $m$, при которых прямая $y=m$ имеет ровно одну общую точку с графиком.

Рассмотрим два случая:

1) Если прямая является касательной к параболе.

Для параболы $y=(x+3)^2-1$ касательная в вершине проходит через точку с $y=-1$, значит при $m=-1$ прямая касается графика ровно в одной точке.

2) Если прямая проходит через точку, которая выколота.

При $m=3$ уравнение $x^2+6x+8=3$ преобразуется в $x^2+6x+5=0$, корни которого: $x=-1$ и $x=-5$. Но точка $(-1;3)$ отсутствует, поэтому пересечение происходит только в точке $(-5;3)$.