Задание 22 — №338295

Найдём корни данных квадратных уравнений, используя обратную теорему Виета. Для уравнения $x^2+7x+12=0$ корни равны $-3$ и $-4$, для уравнения $x^2-x-2=0$ корни равны $-1$ и $2$, а для уравнения $x^2+5x+4=0$ корни равны $-1$ и $-4$.

Запишем разложение квадратных трёхчленов по формуле $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$. Тогда получаем: $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ и $x^2+5x+4=(x+1)(x+4)$.

Подставляем разложения в исходную функцию $y=\frac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}$: получаем $y=\frac{(x+3)(x+4)(x+1)(x-2)}{(x+1)(x+4)}$. При условии $x\neq -1$ и $x\neq -4$ можно сократить общий множитель, и получим $y=(x+3)(x-2)=x^2+x-6$.

Рассмотрим уравнение пересечения графика с прямой $y=m$: $x^2+x-6=m$, что можно записать как $x^2+x-(6+m)=0$. Это уравнение имеет ровно один корень (двойной корень), если его дискриминант равен нулю. Вычисляем дискриминант по формуле $\Delta=b^2-4ac$: подставляя $a=1$, $b=1$ и $c=-(6+m)$, получаем $\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot (-(6+m))=1+24+4m=25+4m$. Приравнивая $\Delta=0$, находим $25+4m=0$, откуда $m=-\frac{25}{4}=-6.25$.

Отдельно рассмотрим ситуацию, когда однo из общих решений исчезает из-за ограничения области определения функции ($x\neq -1$ и $x\neq -4$). Подставляем $x=-1$ в упрощённую функцию $y=x^2+x-6$: получаем $y=1-1-6=-6$.

При $m=-6$ уравнение $x^2+x-6=-6$ имеет корни $x=0$ и $x=-1$, но $x=-1$ не принадлежит графику, поэтому пересечение единичное.

Аналогично, подставляя $x=-4$, получаем $y=16-4-6=6$.

При $m=6$ уравнение $x^2+x-6=6$ даёт корни $x=3$ и $x=-4$, из которых $x=-4$ исключается.

Таким образом, прямая $y=m$ пересекает график ровно в одной точке при $m=-6$ и $m=6$.