Задание 8 — №338274
Числа, вычисления и алгебраические выражения
Условие
Найдите значение выражения $\frac{8ab}{a + 8b} \cdot \left( \frac{a}{8b} - \frac{8b}{a} \right)$ при $a=8 \sqrt{3} + 7, b= \sqrt{3} - 3.$
Найдите значение выражения (8ab)/(a + 8b) · ( (a)/(8b) - (8b)/(a) ) при a=8 √(3) + 7, b= √(3) - 3.
Решение
- 1
Упростим выражение $\frac{8ab}{a + 8b} \times igg( \frac{a}{8b} - \frac{8b}{a} igg)$:
Сначала найдем общий знаменатель для дробей в скобках:
$$\frac{a}{8b} - \frac{8b}{a} = \frac{a^2 - 64b^2}{8ab}$$
- 2
Теперь подставим это в исходное выражение:
$$\frac{8ab}{a + 8b} \times \frac{a^2 - 64b^2}{8ab} = \frac{a^2 - 64b^2}{a + 8b}$$
- 3
Теперь упростим $a^2 - 64b^2$ по формуле разности квадратов:
$$a^2 - 64b^2 = (a - 8b)(a + 8b)$$
Тогда выражение становится:
$$\frac{(a - 8b)(a + 8b)}{a + 8b} = a - 8b$$
- 4
Подставим значения $a = 8\text{√}3 + 7$ и $b = \text{√}3 - 3$:
$$8\text{√}3 + 7 - 8(\text{√}3 - 3) = 8\text{√}3 + 7 - 8\text{√}3 + 24 = 31$$
Ответ: 31