Задание 23 — №324798

В трапеции $ABCD$ сумма углов, прилежащих к боковой стороне $AB$, равна $180^\circ$, то есть $\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ$.

Так как отрезки $AF$ и $BF$ являются биссектрисами углов $\angle A$ и $\angle B$ соответственно, они делят углы пополам: $\angle BAF = \frac{1}{2}\angle BAD$ и $\angle ABF = \frac{1}{2}\angle ABC$.

Складывая полученные углы, получаем: $$\angle BAF + \angle ABF = \frac{1}{2}(\angle BAD + \angle ABC) = \frac{1}{2}\cdot 180^\circ = 90^\circ$$. Это означает, что угол при точке $F$ в треугольнике $ABF$ равен $90^\circ$, то есть треугольник $ABF$ прямоугольный.

Применяем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABF$ (теорема Пифагора: $AB^2 = AF^2 + BF^2$). Подставляем: $AF = 24$ и $BF = 32$, получаем $$AB = \sqrt{24^2 + 32^2} = \sqrt{576 + 1024} = \sqrt{1600} = 40$$.