Задание 17 — №323800
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
Условие
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Решение
- 1
Найдём среднюю линию трапеции, используя формулу для средней линии: $MN = \frac{a + b}{2}$, где $a = 4$ и $b = 10$:
$$MN = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$$
- 2
По теореме Фалеса, диагональ делит среднюю линию на два отрезка, которые относятся как основания трапеции. Обозначим отрезки как $AM$ и $MB$, тогда:
$$\frac{AM}{MB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$
- 3
Пусть $AM = 2k$ и $MB = 5k$. Тогда сумма отрезков равна средней линии:
$$AM + MB = 2k + 5k = 7k = 7 \Rightarrow k = 1$$
- 4
Теперь найдём длины отрезков: $AM = 2k = 2 \cdot 1 = 2$ и $MB = 5k = 5 \cdot 1 = 5$. Таким образом, больший отрезок равен:
$$MB = 5$$
Ответ: 5