Задание 22 — №311967

Шаг 1. Запишем данное выражение: $\frac{x^3 - y}{x^2 + 1} - \frac{x^2y - x}{x^2 + 1}$. Так как у обеих дробей один и тот же знаменатель $x^2 + 1$, объединяем их в одну: $$\frac{x^3 - y - (x^2y - x)}{x^2 + 1}.$$ Результат: числитель равен $x^3 - y - x^2y + x$.

Шаг 2. Приведём подобные слагаемые в числителе, группируя их: $$x^3 - y - x^2y + x = (x^3 + x) - (x^2y + y).$$ Результат: выражение записано в виде двух групп с общими множителями.

Шаг 3. Вынесем общий множитель в каждой группе. Заметим, что $x^3 + x = x(x^2+1)$ и $x^2y + y = y(x^2+1)$. Получаем: $$\frac{x(x^2+1) - y(x^2+1)}{x^2+1} = \frac{(x-y)(x^2+1)}{x^2+1}.$$ Так как $x^2+1\neq 0$, сокращаем дробь. Результат: выражение равно $x-y$.

Шаг 4. Подставляем заданное условие $y = x^2+x-4$ в полученное выражение: $$x-y = x - (x^2+x-4)= x - x^2 - x + 4 = 4-x^2.$$ Результат: преобразованное выражение равно $4-x^2$.

Шаг 5. Определяем наибольшее значение полученного выражения. Поскольку $x^2 \geq 0$, выражение $4-x^2$ достигает максимума при $x=0$: $$4-x^2=4-0=4.$$ Результат: наибольшее значение равно $4$.