Задание 22 — №311246

Шаг 1: Запишем неравенство в виде функции: $f(x)=x^2+(2a+4)x+8a+1\leq 0$.

Шаг 2: Заметим, что коэффициент при $x^2$, равный $1$, положителен, поэтому график функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Это значит, что функция достигает минимума в вершине.

Шаг 3: Чтобы неравенство $f(x)\leq 0$ не имело решений, функция должна быть положительной для всех $x$. При наличии вещественных корней парабола пересекает ось $x$, поэтому для отсутствия решений необходимо, чтобы у квадратного трехчлена не было вещественных корней, то есть его дискриминант должен быть отрицателен ($D<0$).

Шаг 4: Находим дискриминант $D$ для уравнения $x^2+(2a+4)x+8a+1=0$. По формуле для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$, где $D=b^2-4ac$, подставляем: $a=1$, $b=2a+4$, $c=8a+1$. Тогда получаем: $$D=(2a+4)^2-4\cdot1\cdot(8a+1).$$

Шаг 5: Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
$$ (2a+4)^2=4a^2+16a+16, \quad 4(8a+1)=32a+4. $$
Подставляем в выражение для $D$:
$$D=4a^2+16a+16-(32a+4)=4a^2-16a+12.$$
Делим неравенство $D<0$ на $4$ (так как $4>0$):
$$a^2-4a+3<0.$$
Заметим, что
$$a^2-4a+3=(a-1)(a-3).$$

Шаг 6: Решаем неравенство $(a-1)(a-3)<0$. Произведение двух чисел меньше нуля, когда одно из них положительно, а другое отрицательно, что выполняется при условии $1<a<3$. Таким образом, исходное неравенство не имеет решений при $1<a<3$.