Задание 22 — №311577
Функции и их свойства. Графики функций
Условие
Найдите наименьшее значение выражения $\left(5x - 4y + 3\right)^{2} + \left(3x - y - 1\right)^{2}$ и значения x и y, при которых оно достигается.
Найдите наименьшее значение выражения (5x - 4y + 3)^2 + (3x - y - 1)^2 и значения x и y, при которых оно достигается.
Решение
- 1
Шаг 1. Заметим, что любой квадрат числа неотрицателен (свойство: $A^{2} \geq 0$ для любого $A$), поэтому $$ (5x-4y+3)^{2}+(3x-y-1)^{2} \geq 0. $$
- 2
Шаг 2. Минимальное значение выражения равно $0$, оно достигается, если оба слагаемых равны нулю: $$ 5x-4y+3=0 $$ и $$ 3x-y-1=0. $$
- 3
Шаг 3. Запишем систему уравнений, которая обеспечивает нулевые значения обеих скобок: $$ \begin{cases} 5x-4y+3=0 \\ 3x-y-1=0 \end{cases} $$
- 4
Шаг 4. Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения $$ 3x-y-1=0 $$ найдем $y$: $$ y=3x-1. $$ Подставляем $y=3x-1$ в первое уравнение: $$ 5x-4(3x-1)+3=5x-12x+4+3=-7x+7=0, $$ откуда получаем $-7x+7=0$, то есть $ x=1 $.
- 5
Шаг 5. Подставляем найденное значение $x=1$ в выражение $ y=3x-1 $: $$ y=3\cdot1-1=2. $$ Таким образом, минимальное значение выражения равно $0$ и достигается при $x=1$ и $y=2$.
Ответ: 0, при [x=1, y=2]