Задание 22 — №311613
Функции и их свойства. Графики функций
Условие
Первая прямая проходит через точки $\left(0; 4.5\right)$ и $\left(3; 6\right)$. Вторая прямая проходит через точки $\left(1; 2\right)$ и $\left(-4; 7\right)$. Найдите координаты общей точки этих двух прямых.
Первая прямая проходит через точки (0; 4.5) и (3; 6). Вторая прямая проходит через точки (1; 2) и (-4; 7). Найдите координаты общей точки этих двух прямых.
Решение
- 1
Шаг 1. Находим уравнение первой прямой. Записываем уравнение прямой в виде $y=kx+b$. Подставляем точку $(0; 4.5)$, получаем $4.5=k\cdot0+b$, откуда $b=4.5$. Затем подставляем точку $(3; 6)$: $6=k\cdot3+4.5$, то есть $3k=6-4.5=1.5$, откуда находим $k=\frac{1.5}{3}=0.5$. В итоге уравнение первой прямой: $y=0.5x+4.5$.
- 2
Шаг 2. Находим уравнение второй прямой. Записываем уравнение прямой в виде $y=kx+b$. Подставляем точку $(1; 2)$, получаем $2=k\cdot1+b$, то есть $k+b=2$. Подставляем точку $(-4; 7)$: $7=k\cdot(-4)+b$, то есть $-4k+b=7$. Вычтем уравнение $k+b=2$ из уравнения $-4k+b=7$: $(-4k+b)-(k+b)=7-2$, что даёт $-5k=5$, откуда $k=-1$. Подставляем $k=-1$ в $k+b=2$ и получаем $b=3$.
Таким образом, уравнение второй прямой: $y=3-x$. - 3
Шаг 3. Находим координаты общей точки, решая систему уравнений обеих прямых: $$\begin{cases} y=0.5x+4.5\\ y=3-x \end{cases}$$ Приравниваем правые части: $0.5x+4.5=3-x$. Собираем слагаемые с $x$: $0.5x+x=3-4.5$, то есть $1.5x=-1.5$, откуда находим $x=\frac{-1.5}{1.5}=-1$. Подставляем $x=-1$ в уравнение $y=3-x$: $y=3-(-1)=4$. Координаты точки пересечения: $(-1; 4)$.
Ответ: (-1; 4)