Задание 22 — №311547
Функции и их свойства. Графики функций
Условие
Найдите наименьшее значение выражения и значения x и y, при которых оно достигается $|6x + 5y + 7| + |2x + 3y + 1|.$
Найдите наименьшее значение выражения и значения x и y, при которых оно достигается |6x + 5y + 7| + |2x + 3y + 1|.
Решение
- 1
По свойству модуля, если $|A|=0$, то $A=0$. Применим это к сумме $|6x+5y+7|+|2x+3y+1|$: она равна $0$ тогда и только тогда, когда одновременно $6x+5y+7=0$ и $2x+3y+1=0$.
- 2
Запишем систему уравнений: $$6x+5y+7=0$$ и $$2x+3y+1=0.$$
- 3
Умножим второе уравнение на $3$ (умножение уравнения на число сохраняет корни): $$3(2x+3y+1)=6x+9y+3=0.$$
- 4
Вычтем из уравнения $$6x+9y+3=0$$ первое уравнение $$6x+5y+7=0$$: получим $$ (6x+9y+3)-(6x+5y+7)=4y-4=0,$$ откуда $4y=4$ и, деля обе части на $4$, находим $y=1$.
- 5
Подставим $y=1$ в первое уравнение: $$6x+5\cdot1+7=6x+12=0.$$ Решая получаем $6x=-12$, откуда $x=-2$.
Ответ: наименьшее значение 0; значения x и y (-2; 1)