Задание 22 — №311655

Шаг 1. Преобразуем функцию. Заданная функция имеет вид $y=\frac{(x-9)(x^2-9)}{x^2-6x-27}$. Заметим, что $x^2-9$ раскладывается по формуле разности квадратов: $x^2-9=(x-3)(x+3)$, а $x^2-6x-27$ раскладывается как $(x-9)(x+3)$, так как $(x-9)(x+3)=x^2-6x-27$. Таким образом, функция записывается в виде: $$y=\frac{(x-9)(x-3)(x+3)}{(x-9)(x+3)}.$$

Шаг 2. При условии, что $x\neq9$ и $x\neq-3$ (чтобы знаменатель не обращался в ноль), можно сократить общие множители $(x-9)$ и $(x+3)$. В результате получаем упрощённую функцию: $$y=x-3.$$

Шаг 3. График полученной функции — прямая $y=x-3$, однако из-за сокращения исключаются две точки. Найдём выколотые точки: при $x=-3$ $y=-3-3=-6$, а при $x=9$ $y=9-3=6$. Таким образом, выколотые точки имеют координаты $(-3;\,-6)$ и $(9;\,6)$.

Шаг 4. Прямая $y=kx$ не будет иметь общих точек с графиком функции, если прямые параллельны. Поскольку наклон прямой $y=x-3$ равен $1$, для параллельности необходимо, чтобы $k=1$.

Шаг 5.

Рассмотрим второй случай.

При $k\neq1$ точки пересечения определяются из уравнения: $$x-3=kx.$$ Приведём его к виду $$x-kx=3 \quad\Longrightarrow\quad (1-k)x=3,$$ откуда получаем $$x=\frac{3}{1-k}.$$ Чтобы пересечение оказалось в выколотой точке, необходимо, чтобы $\frac{3}{1-k}$ равнялось либо $-3$, либо $9$.

При $x=-3$: $$\frac{3}{1-k}=-3 \quad\Longrightarrow\quad 3=-3(1-k)= -3+3k, \quad\text{откуда } k=2.$$ При $x=9$: $$\frac{3}{1-k}=9 \quad\Longrightarrow\quad 3=9-9k, \quad\text{откуда } k=\frac{2}{3}.$$

Шаг 6. Таким образом, прямая $y=kx$ не пересекает график функции, если выполнено одно из условий: либо прямые параллельны ($k=1$), либо единственная точка пересечения оказывается выколотой ($k=2$ или $k=\frac{2}{3}$). Итоговый ответ: $\frac{2}{3};\; 1;\; 2$.