Задание 22 — №339866

Подставим уравнение прямой $y=2x+b$ в уравнение окружности $x^2+y^2=5$. Получим: $$x^2+(2x+b)^2=5$$. Раскроем скобки: $$x^2+4x^2+4bx+b^2=5$$, что дает уравнение: $$5x^2+4bx+b^2-5=0$$.

Так как прямая касается окружности, система имеет единственное решение. По свойству касания, дискриминант квадратного уравнения должен равняться нулю.

Для уравнения $$5x^2+4bx+(b^2-5)=0$$, где $A=5$, $B=4b$, $C=b^2-5$, применяем формулу дискриминанта: $$\Delta=(4b)^2-4\cdot 5\cdot (b^2-5)=16b^2-20(b^2-5)$$. Преобразуем полученное выражение: $$16b^2-20b^2+100=-4b^2+100=0$$, откуда получаем $$-4b^2+100=0$$.

Приравняем выражение к нулю и найдем $b$: $$-4b^2+100=0 \Longrightarrow 4b^2=100 \Longrightarrow b^2=25$$, то есть $$b=5$$ или $$b=-5$$.

Проверим значение $b=5$. При подстановке $b=5$ уравнение принимает вид: $$5x^2+4\cdot5\cdot x+5^2-5=5x^2+20x+25-5=5x^2+20x+20=0$$. Разделим на $5$: $$x^2+4x+4=0$$, что можно записать как $$ (x+2)^2=0$$, откуда $x=-2$. Так как абсцисса должна быть положительной, значение $b=5$ не подходит.

Теперь проверим $b=-5$. При подстановке $b=-5$ уравнение становится: $$5x^2+4\cdot(-5)\cdot x+(-5)^2-5=5x^2-20x+25-5=5x^2-20x+20=0$$. Разделим на $5$: $$x^2-4x+4=0$$, что равносильно записи $$ (x-2)^2=0$$, откуда $x=2$ (положительное значение). Подставим $x=2$ и $b=-5$ в уравнение прямой: $$y=2\cdot2-5=4-5=-1$$. Таким образом, координаты точки касания – $(2; -1)$.