15
Задание 15 — №311320
Треугольники и их элементы
Равнобедренные треугольникиФИПИ: 7.2 Треугольник
Условие
В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите 
В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите ∠ MPN.
Решение
- 1
В равностороннем треугольнике $ABC$ все углы равны $60^\text{o}$:
$$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\text{o}$$
- 2
Биссектрисы $CN$ и $AM$ делят углы пополам, поэтому:
$$\angle ACN = \angle MAC = \frac{60^\text{o}}{2} = 30^\text{o}$$
- 3
Сумма углов в треугольнике $APC$ равна $180^\text{o}$, поэтому:
$$\angle APC = 180^\text{o} - 30^\text{o} - 30^\text{o} = 120^\text{o}$$
- 4
Вертикальные углы равны, следовательно:
$$\angle MPN = \angle APC = 120^\text{o}$$
Ответ: 120