Задание 13 — №311311
Неравенства, системы неравенств
Условие
Решите неравенство $-x^2 - 2x \leq 0.$ В ответе укажите номер правильного варианта. 1) $(-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$ 2) $(-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$ 3) $(-2; 0)$ 4) $[-2; 0]$
Решите неравенство -x^2 - 2x ≤ 0. В ответе укажите номер правильного варианта. 1) (-∞; -2) ∪ (0; +∞) 2) (-∞; -2] ∪ [0; +∞) 3) (-2; 0) 4) [-2; 0]
Решение
- 1
Решим неравенство $-x^2 - 2x \leq 0$. Умножим обе стороны на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$$x^2 + 2x \geq 0$$
- 2
Перепишем неравенство в виде произведения:
$$x(x + 2) \geq 0$$
- 3
Найдем корни уравнения $x(x + 2) = 0$: $x = 0$ и $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$.
- 4
Теперь определим знаки произведения $x(x + 2)$ на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$:
1) На интервале $(-\infty; -2)$: оба сомножителя отрицательные, произведение положительное.
2) На интервале $(-2; 0)$: один сомножитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное.
3) На интервале $(0; +\infty)$: оба сомножителя положительные, произведение положительное.
Таким образом, неравенство выполняется на интервалах $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty)$.
Ответ: 2