Задание 16 — №472385
Окружность, круг и их элементы
Условие
Диагональ AC ромба ABCD равна 48, а 
Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Диагональ AC ромба ABCD равна 48, а tan ∠ BCA = (7)/(24). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Решение
- 1
В ромбе ABCD проведем отрезок $OH$, который является радиусом вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике $OHC$ катет $OH$ равен $CH \cdot \tan \angle BCA$. Подставим значение $\tan \angle BCA = \frac{7}{24}$ и обозначим $CH$ как $x$: $OH = x \cdot \frac{7}{24}$.
- 2
Гипотенуза $OC$ равна $\frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$. По теореме Пифагора в треугольнике $OHC$ имеем: $CH^2 + OH^2 = OC^2$, что можно записать как $x^2 + \left(x \cdot \frac{7}{24}\right)^2 = 24^2$.
- 3
Раскроем скобки и упростим: $x^2 + \frac{49}{576} x^2 = 576$. Объединим $x^2$: $\left(1 + \frac{49}{576}\right)x^2 = 576$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{625}{576} x^2 = 576$. Отсюда получаем $x^2 = \frac{576 \cdot 576}{625}$, а значит, $CH = x = \frac{576}{25}$.
- 4
Теперь найдем радиус вписанной окружности $OH$: $OH = CH \cdot \frac{7}{24} = \frac{576}{25} \cdot \frac{7}{24} = \frac{168}{25} = 6,72$.
Ответ: 6,72