Задание 20 — №357583

Запишем исходное уравнение: $x^4 = (4x-5)^2$. Перенесём $(4x-5)^2$ в левую часть, получим: $x^4 - (4x-5)^2 = 0$.

Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$. Применяем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2$ и $b = 4x-5$. Подставляем, получаем: $(x^2 - (4x-5))\cdot (x^2 + (4x-5)) = 0$.

Упростим выражения в скобках: $x^2 - (4x-5) = x^2-4x+5$ и $x^2 + (4x-5) = x^2+4x-5$. Тогда уравнение примет вид: $(x^2-4x+5)(x^2+4x-5) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю. Сначала решим уравнение: $x^2-4x+5=0$. Вычисляем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 16-20 = -4$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим уравнение: $x^2+4x-5=0$. Вычисляем дискриминант: $D = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = 16+20 = 36$. Применяем формулу для корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 6}{2}$$. Получаем корни: $x = -5$ и $x = 1$.