Задание 20 — №311591
Уравнения, неравенства и их системы
Условие
Решите уравнение: $\left(2x - 3\right)^2 = \left(1 - 2x\right)^2.$
Решите уравнение: (2x - 3)^2 = (1 - 2x)^2.
Решение
- 1
Запишем уравнение $ (2x-3)^2=(1-2x)^2 $ в виде разности квадратов: $ (2x-3)^2-(1-2x)^2=0 $. Это первый шаг, где мы перевели всё в одну сторону.
- 2
Применим формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $, где $ a=2x-3 $ и $ b=1-2x $. Подставляем: $$ (2x-3)^2-(1-2x)^2=\left[(2x-3)-(1-2x)\right]\cdot\left[(2x-3)+(1-2x)\right]=0. $$
- 3
Вычислим каждую скобку: \newline Первое: $ (2x-3)-(1-2x)=2x-3-1+2x=4x-4 $. \newline Второе: $ (2x-3)+(1-2x)=2x-3+1-2x=-2 $. \newline Таким образом, у нас получается: $ (-2)(4x-4)=0 $.
- 4
Так как $ -2\neq0 $, то для обращения произведения в ноль требуется $ 4x-4=0 $. Решим это уравнение: $4x-4=0 \Rightarrow 4x=4 \Rightarrow x=1$.
Ответ: 1