Задание 20 — №311587

Шаг 1: Введём замену: $y=x^{2}$. Тогда $x^{4}=(x^{2})^{2}=y^{2}$, и исходное уравнение $x^{4}-5x^{2}+4=0$ переходит в уравнение $y^{2}-5y+4=0$.

Шаг 2: Решим квадратное уравнение $y^{2}-5y+4=0$. Применяем формулу для корней квадратного уравнения: $y=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$, где $a=1$, $b=-5$, $c=4$. Подставляем: $$y=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^{2}-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}=\frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}$$. Таким образом, получаем $y=\frac{5+3}{2}=4$ и $y=\frac{5-3}{2}=1$.

Шаг 3: Подставляем обратно замену $y=x^{2}$. При $y=1$ уравнение принимает вид $x^{2}=1$.

Шаг 4: Решаем уравнение $x^{2}=1$. Извлекаем корень: $x=\pm\sqrt{1}$, откуда получаем $x=-1$ или $x=1$. Аналогично, при $y=4$ имеем $x^{2}=4$, и $x=\pm\sqrt{4}$, то есть $x=-2$ или $x=2$.

Шаг 5: Составляем полный набор корней исходного уравнения: $x=-2$, $x=-1$, $x=1$, $x=2$. Поэтому окончательный ответ: $-2; -1, 1, 2$.