Задание 20 — №311618
Уравнения, неравенства и их системы
Условие
Решите уравнение $\left( x^2 - 25 \right)^2 + \left( x^2 + 3x - 10 \right)^2 = 0.$
Решите уравнение ( x^2 - 25 )^2 + ( x^2 + 3x - 10 )^2 = 0.
Решение
- 1
Шаг 1: Записываем исходное уравнение: $\left(x^2-25\right)^2+\left(x^2+3x-10\right)^2=0$.
- 2
Шаг 2: Замечаем, что квадрат любого числа неотрицателен (теорема: для любого $a$ выполняется $a^2\geq0$), то есть оба слагаемых в уравнении неотрицательны.
- 3
Шаг 3: Так как сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только когда каждое из них равно нулю, получаем систему уравнений: $x^2-25=0$ и $x^2+3x-10=0$.
- 4
Шаг 4: Решаем первое уравнение $x^2-25=0$. Преобразуем его: $x^2=25$, откуда извлекаем корень: $x=5$ или $x=-5$ (так как $\sqrt{25}=5$).
- 5
Шаг 5: Решаем второе уравнение $x^2+3x-10=0$. Разложим его на множители: $x^2+3x-10=(x+5)(x-2)=0$. По свойству нулевого произведения получаем: $x+5=0$ или $x-2=0$, то есть $x=-5$ или $x=2$. Единственное значение, удовлетворяющее обеим системам, это $x=-5$.
Ответ: -5