Задание 15 — №356242
Треугольники и их элементы
Условие
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 18, MN = 8. Площадь треугольника ABC равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 18, MN = 8. Площадь треугольника ABC равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.
Решение
- 1
Треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны, так как углы $BMN$ и $BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых, а угол $B$ общий.
- 2
Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон, поэтому имеем:
$$\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{MN}{AC}\right)^2$$
- 3
Подставим известные значения: $MN = 8$, $AC = 18$, $S_{ABC} = 81$:
$$\frac{S_{MBN}}{81} = \left(\frac{8}{18}\right)^2$$
- 4
Вычислим $S_{MBN}$:
$$S_{MBN} = 81 \cdot \left(\frac{8}{18}\right)^2 = 81 \cdot \frac{64}{324} = 16$$
Ответ: 16