Задание 15 — №356210
Треугольники и их элементы
Условие
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 12, CM = 18. Найдите AO.
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 12, CM = 18. Найдите AO.
Решение
- 1
Отрезки $AN$ и $CM$ являются медианами треугольника $ABC$. При пересечении медиан точка $O$ делит их в отношении $2:1$, считая от вершины. Таким образом, имеем:
$$\frac{AO}{ON} = \frac{2}{1}$$
- 2
Обозначим $AO = x$, тогда $ON = \frac{1}{2}x$. Поскольку $AN = 12$, можно записать:
$$x + \frac{1}{2}x = 12$$
- 3
Объединим $x$ и $\frac{1}{2}x$:
$$\frac{3}{2}x = 12$$
- 4
Умножим обе стороны на $\frac{2}{3}$:
$$x = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$$
Ответ: 8