Задание 25 — №353380

Пусть точка $P$ — точка пересечения отрезков $BE$ и $AD$. Поскольку $AD$ — медиана треугольника $ABC$, то $D$ — середина стороны $BC$. Из условия получаем, что $AD=84$, а так как в треугольнике $ABD$ биссектриса $BP$ оказывается высотой, то треугольник $ABD$ равнобедренный, откуда $AB=BD$ и отрезок $AD$ делится точкой $P$ на две равные части: $AP=PD=\frac{84}{2}=42$. Тогда $BC=2BD=2AB$.

Воспользуемся теоремой о биссектрисе, которая утверждает, что в треугольнике $ABC$ отношение отрезков, на которые биссектриса, проведённая из вершины $B$, делит сторону $AC$, равно отношению прилежащих сторон: $\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}$. Подставляя $BC=2AB$, получаем $\frac{CE}{AE}=2$, то есть $CE=2AE$. Тогда сторона $AC=AE+CE=3AE$.

Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную прямой $AC$. Пусть эта прямая пересекает продолжение медианы $AD$ в точке $K$. По свойству параллельных прямых получаем, что отрезок $BK$ равен $AC$, то есть $BK=AC=3AE$.

Рассмотрим треугольники $APE$ и $KPB$, которые подобны (по угловому признаку). Из подобия следует равенство отношений: $\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}$.

Подставляя $BK=3AE$, получаем $\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{3AE}=\frac{1}{3}$, откуда $PE=\frac{BP}{3}$. Так как весь отрезок $BE=BP+PE=84$, получаем $BP+\frac{BP}{3}=84$, то есть $\frac{4BP}{3}=84$.

Отсюда находим $BP=\frac{84\cdot3}{4}=63$ и $PE=\frac{63}{3}=21$.

В прямоугольном треугольнике $APB$ по теореме Пифагора находим сторону $AB$: $$AB=\sqrt{AP^2+BP^2}=\sqrt{42^2+63^2}=\sqrt{1764+3969}=\sqrt{5733}=21\sqrt{13}$$. Аналогично, в треугольнике $APE$ вычисляем $$AE=\sqrt{AP^2+PE^2}=\sqrt{42^2+21^2}=\sqrt{1764+441}=\sqrt{2205}=21\sqrt{5}$$.

Таким образом, сторона $AB=21\sqrt{13}$, сторона $BC=2AB=42\sqrt{13}$, а сторона $AC=3AE=63\sqrt{5}$.