Задание 25 — №311242

Шаг 1: Применяем теорему о биссектрисе, которая утверждает, что в треугольнике $ABC$ для биссектрисы $AD$ верно: $$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}.$$ Так как известно, что $BD:DC=1:3$, получаем $$\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}.$$ Выберем $AC=6x$, тогда, поскольку $K$ – середина $AC$, получаем $AK=KC=3x$, а откуда $AB=\frac{1}{3}\cdot6x=2x$.

Шаг 2: Применяем метод массовых точек. Назначим массы на вершинах: положим $m_B=3$ и $m_C=1$ (так как $BD:DC=1:3$). Поскольку $K$ – середина стороны $AC$, то для равенства отрезков выбираем $m_A=m_C=1$.

Тогда масса точки $K$ равна $m_K=m_A+m_C=1+1=2$.

При пересечении медианы $BK$ и биссектрисы $AD$ отношение деления точки $E$ на медиане определяется соотношением: $$\frac{BE}{EK}=\frac{m_K}{m_B}=\frac{2}{3}.$$

Шаг 3: Находим площадь треугольника $ACD$. Точка $D$ делит сторону $BC$ так, что $CD=\frac{3}{4}BC$. Согласно пропорциональности площадей, получаем: $$S_{ACD}=\frac{CD}{BC}\cdot S_{ABC}=\frac{3}{4}\cdot80=60.$$

Шаг 4: Определяем площадь треугольника $AKE$, являющегося частью треугольника $ABK$. Так как $K$ – середина $AC$, то площадь треугольника $ABK$ равна: $$S_{ABK}=\frac{AK}{AC}\cdot S_{ABC}=\frac{3x}{6x}\cdot80=40.$$ Из найденного ранее отношения $$\frac{BE}{EK}=\frac{2}{3}$$ следует, что $EK$ составляет $$\frac{3}{5}$$ длины медианы $BK$ (так как $BK=BE+EK=2+3$ частей).

Тогда площадь треугольника $AKE$ равна: $$S_{AKE}=\frac{KE}{BK}\cdot S_{ABK}=\frac{3}{5}\cdot40=24.$$

Шаг 5: Вычисляем площадь четырёхугольника $EDCK$, вычитая площадь треугольника $AKE$ из площади треугольника $ACD$: $$S_{EDCK}=S_{ACD}-S_{AKE}=60-24=36.$$