Задание 25 — №314866

Обозначим площадь треугольника $ABC$ через $S$. Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а значит, медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: $$S_{ABM} = S_{BMC} = \frac{1}{2}S.$$

Поскольку $AP$ является биссектрисой, по теореме о биссектрисе (формула: $$\frac{S_{ABP}}{S_{APC}} = \frac{AB}{AC}$$) подставляем условие $AC = 3\cdot AB$ и получаем: $$\frac{S_{ABP}}{S_{APC}} = \frac{1}{3}.$$ Так как $S_{ABP}+S_{APC}=S$, находим $$S_{ABP}=\frac{1}{4}S \quad \text{и} \quad S_{APC}=\frac{3}{4}S.$$

Рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $AK$, являющийся частью биссектрисы $AP$, делит треугольник $ABM$ на два меньших треугольника. По свойству биссектрисы для площадей: $$\frac{S_{ABK}}{S_{AKM}} = \frac{AB}{AM}.$$ По условию задачи отношение сторон равно $$\frac{AB}{AM}=\frac{2}{3}.$$

Обозначим $S_{ABK}=x$ и $S_{AKM}=y$.

Тогда из предыдущего соотношения получаем: $$\frac{x}{y}=\frac{2}{3} \quad \text{и} \quad x+y=S_{ABM}=\frac{1}{2}S.$$ Выразим $x$ через $y$: $x=\frac{2}{3}y$.

Подставляя, находим: $$\frac{2}{3}y+y=\frac{1}{2}S \Rightarrow \frac{5}{3}y=\frac{1}{2}S.$$ Отсюда $$y=\frac{3}{10}S, \quad x=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{10}S=\frac{1}{5}S.$$ Таким образом, $$S_{ABK}=\frac{1}{5}S.$$

Найдем площадь треугольника $BPK$. Заметим, что она равна разности площадей треугольников $ABP$ и $ABK$: $$S_{BPK}=S_{ABP}-S_{ABK}=\frac{1}{4}S-\frac{1}{5}S=\frac{5-4}{20}S=\frac{1}{20}S.$$

Площадь четырехугольника $KPCM$ находится как разность: $$S_{KPCM}=S_{BMC}-S_{BPK}=\frac{1}{2}S-\frac{1}{20}S=\frac{10-1}{20}S=\frac{9}{20}S.$$ Тогда искомое отношение площадей равно: $$\frac{S_{ABK}}{S_{KPCM}}=\frac{\frac{1}{5}S}{\frac{9}{20}S}=\frac{1}{5}\cdot\frac{20}{9}=\frac{4}{9}.$$