Задание 25 — №314829
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
Решение
- 1
Введем обозначения: $AC$ --- положение журавля до опускания, $BD$ --- положение после опускания; $AH$ --- высота, на которую поднялся конец короткого плеча, а $CK$ --- высота, на которую опустился конец длинного. Из условия следует, что $AB=2$ и $CD=6$.
- 2
Рассмотрим равнобедренные треугольники $AOB$ и $COD$. Так как углы, противолежащие равным основаниям, равны (вертикальные углы), по признаку подобия (по двум углам) получаем пропорцию: $$\frac{CD}{AB}=\frac{6}{2}=3.$$
- 3
При пересечении секущей $BD$ прямых $AB$ и $CD$ накрест лежащие углы равны, что означает, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Тогда прямоугольные треугольники $AHB$ и $CDK$ имеют равные соответствующие углы, то есть они подобны.
- 4
Из подобия треугольников $AHB$ и $CDK$ следует равенство отношений: $$\frac{CD}{AB}=\frac{CK}{AH}.$$ Подставляем известные значения: $$CK=AH\cdot\frac{CD}{AB}=0.5\cdot3=1.5.$$
Ответ: 1,5