Задание 25 — №78
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
Решение
- 1
Проведем отрезок $MT$, параллельный прямой $AP$, где прямая $AP$ проходит через вершину $A$ и точку $P$ на стороне $BC$. По теореме о средней линии для треугольника $APC$ (свойство: средняя линия параллельна основанию и равна его половине) делаем вывод: $CT = TP$.
- 2
В треугольнике $BMT$ проведем отрезок $KP$, который является средней линией по теореме о средней линии. Таким образом, получаем, что $TP = BP$.
- 3
Обозначим площадь треугольника $BKP$ через $S$, то есть $S_{BKP}=S$. Так как треугольник $KPC$ имеет ту же высоту, что и треугольник $BKP$, а его основание в два раза больше (так как $TP = BP$), по формуле площади треугольника $$S=\frac{1}{2}\cdot\text{основание}\cdot\text{высота}$$ получаем, что $S_{KPC}=2S$.
- 4
Площадь треугольника $CKB$ равна сумме площадей треугольников $BKP$ и $KPC$: $S_{CKB}=S+2S=3S$. По условию, треугольники $CKB$, $CMK$ и $AMK$ имеют одну и ту же высоту, проведенную из вершины $C$, и равные основания, отсюда $S_{CMK}=3S$ и $S_{AMK}=3S$. Так как площади треугольников $AMK$ и $ABK$ равны, то $S_{ABK}=3S$.
- 5
Четырехугольник $KPCM$ состоит из треугольников $KPC$ и $CMK$, поэтому его площадь равна $S_{KPCM}=2S+3S=5S$. Отношение площадей треугольника $ABK$ и четырехугольника $KPCM$: $$\frac{S_{ABK}}{S_{KPCM}}=\frac{3S}{5S}=\frac{3}{5}=0,6$$. Итоговый ответ: $0,6$.
Ответ: 0,6