Задание 25 — №311252
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Стороны AC , AB , BC треугольника ABC равны $2 \sqrt{5}$, $\sqrt{13}$ и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC , причем отрезок KC пересекает отрезок AB в точке, отличной от B . Известно, что треугольник с вершинами K , A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC , если $\angle KAC > 90^{\circ}$.
Стороны AC , AB , BC треугольника ABC равны 2 √(5), √(13) и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC , причем отрезок KC пересекает отрезок AB в точке, отличной от B . Известно, что треугольник с вершинами K , A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC , если ∠ KAC > 90^(°).
Решение
- 1
1. Определяем, что в треугольнике $ABC$ стороны равны: $AC=2\sqrt{5}$, $AB=\sqrt{13}$, $BC=1$. Из этих значений видно, что $AC$ является наибольшей, а значит, угол, противолежащий этой стороне, т.е. угол $ABC$, является наибольшим углом треугольника $ABC$.
- 2
2. Из условия подобия треугольников $ABC$ и $AKC$ следует, что соответствующие углы равны. Поскольку в треугольнике $AKC$ угол $KAC$ является тупым (то есть $KAC>90^\circ$), он соответствует наибольшему углу треугольника $ABC$, а именно, углу $ABC$. Тогда оставшиеся углы соотносятся так, что $\angle AKC=\angle ACB$.
- 3
3. Применяем теорему косинусов для треугольника $ABC$, которая гласит: $$\cos \angle ACB=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}.$$ Подставляем значения: $AC^2=(2\sqrt{5})^2=20$, $BC^2=1^2=1$, $AB^2=(\sqrt{13})^2=13$. Таким образом, получаем: $$\cos \angle ACB=\frac{20+1-13}{2\cdot2\sqrt{5}\cdot1}=\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$$
- 4
4. Приводим выражение к удобному виду, домножая числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$ Так как $\angle AKC=\angle ACB$, искомый косинус равен $\cos \angle AKC=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $$\cos \angle AKC=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$