Задание 25 — №316361

Шаг 1: Из вершины $C$ (прямой угол) треугольника $ABC$ проведём высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. По формуле для высоты: $CH=\frac{2S_{ABC}}{AB}$. Подставляем $S_{ABC}=18$ и $AB=12$: $CH=\frac{2\cdot18}{12}=3$.

Шаг 2: По свойству прямоугольного треугольника медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Тогда $CM=\frac{1}{2}AB=\frac{12}{2}=6$.

Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHM$. Здесь известны $CH=3$ и $CM=6$, откуда получаем отношение: $$\sin\angle CMH=\frac{CH}{CM}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$. Согласно определению синуса, если $\sin\theta=\frac{1}{2}$, то $\theta=30^\circ$. Следовательно, $\angle CMH=30^\circ$.

Шаг 4: Точка $M$ является серединой гипотенузы, откуда $CM=AM$, то есть треугольник $CMA$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике, если угол между боковыми сторонами (вершина) равен $30^\circ$, то каждый из оснований равен $\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ$. Таким образом, $\angle BAC=75^\circ$.

Шаг 5: Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то оставшийся угол равен: $\angle ABC=90^\circ-75^\circ=15^\circ$.