Задание 25 — №333323

Обозначим точку $P$ как точку пересечения медианы $AD$ и биссектрисы $BE$. Так как $AD=96$, медиана делится на две равные части, откуда $AP=PD=48$.

В треугольнике $ABD$ биссектриса $BP$ является высотой, поэтому треугольник равнобедренный и $AB=BD$. Поскольку $D$ — середина стороны $BC$, получаем $BC=2BD=2AB$.

Применяем свойство биссектрисы (теорема: $$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}$$) в треугольнике $ABC$. Подставляя $BC=2AB$, получаем $$\frac{CE}{AE}=2$$, откуда $CE=2AE$. Тогда $AC=AE+CE=3AE$.

Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $AC$, и обозначим точку пересечения с медианой $AD$ как $K$. Тогда, по равенству углов, получаем $BK=AC=3AE$.

Рассмотрим подобие прямоугольных треугольников $APE$ и $KPB$ (с прямым углом в $P$). Тогда $$\frac{PE}{BP}=\frac{AE}{BK}$$. Подставляя $BK=3AE$, получаем $$\frac{PE}{BP}=\frac{1}{3}$$, откуда $BP=3PE$. Таким образом, $PE=24$ и $BP=72$.

В прямоугольном треугольнике $ABP$ находим $$AB=\sqrt{48^2+72^2}=\sqrt{2304+5184}=\sqrt{7488}=24\sqrt{13}$$. Тогда $BC=2AB=48\sqrt{13}$. В прямоугольном треугольнике $APE$ получаем $$AE=\sqrt{48^2+24^2}=\sqrt{2304+576}=\sqrt{2880}=24\sqrt{5}$$ и $AC=3AE=72\sqrt{5}$.