Задание 25 — №339514

Пусть площадь треугольника $ABC$ равна $S$. Медиана $BM$ делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому $S_{ABM} = S_{BMC} = \frac{S}{2}$.

Биссектриса $AP$ делит треугольник пропорционально прилежащим сторонам (по теореме о биссектрисе): $ \frac{S_{ABP}}{S_{APC}} = \frac{AB}{AC} $. По условию $ \frac{AC}{AB} = \frac{9}{7} $, откуда $ \frac{AB}{AC} = \frac{7}{9} $. Учитывая, что $ S_{ABP} + S_{APC} = S $, получаем $ S_{ABP} = \frac{7}{16}S $ и $ S_{APC} = \frac{9}{16}S $.

В треугольнике $ABM$ (с площадью $ \frac{S}{2} $) биссектриса $AK$ делит угол $A$. По свойству биссектрисы для площадей получаем: $ \frac{S_{ABK}}{S_{AKM}} = \frac{AB}{AM} $. Так как точка $M$ является серединой стороны $AC$, то $ AM = \frac{AC}{2} $. Подставляя $ \frac{AC}{AB} = \frac{9}{7} $, получаем $$ \frac{AB}{AM} = \frac{2AB}{AC} = \frac{2}{\frac{9}{7}} = \frac{14}{9} $$.

Из соотношения $ \frac{S_{ABK}}{S_{AKM}} = \frac{14}{9} $ и равенства $ S_{ABK} + S_{AKM} = \frac{S}{2} $ находим:\\ $$S_{ABK} = \frac{14}{14+9}\cdot \frac{S}{2} = \frac{14}{23}\cdot \frac{S}{2} = \frac{7}{23}S,$$\\ $$S_{AKM} = \frac{9}{23}\cdot \frac{S}{2} = \frac{9}{46}S.$$

Площадь треугольника $BPK$ равна разности площадей треугольников $ABP$ и $ABK$: \\n$$S_{BPK} = \frac{7}{16}S - \frac{7}{23}S.$$ \\nПриведем дроби к общему знаменателю: \\n$$\frac{7}{16}S = \frac{7\cdot23}{368}S = \frac{161}{368}S,\quad \frac{7}{23}S = \frac{7\cdot16}{368}S = \frac{112}{368}S,$$ \\nоткуда $ S_{BPK} = \frac{161-112}{368}S = \frac{49}{368}S $.

Площадь четырёхугольника $KPCM$ равна разности площадей треугольника $BMC$ и треугольника $BPK$: \\n$$S_{KPCM} = \frac{S}{2} - \frac{49}{368}S = \frac{184}{368}S - \frac{49}{368}S = \frac{135}{368}S.$$ \\nТогда отношение площадей треугольника $ABK$ и четырёхугольника $KPCM$ равно: \\n$$\frac{S_{ABK}}{S_{KPCM}} = \frac{\frac{7}{23}S}{\frac{135}{368}S} = \frac{7}{23} \cdot \frac{368}{135} = \frac{112}{135}.$$