Задание 25 — №353409

Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, она делит его на два равновеликих треугольника, откуда получаем: $S_{ABM} = S_{BMC} = \frac{S_{ABC}}{2}$.

Поскольку точка $M$ является серединой стороны $AC$, то $AM = MC$, то есть $\frac{AM}{AC} = \frac{1}{2}$. По условию задачи $\frac{AC}{AB} = \frac{7}{10}$, поэтому подставляя $AC = \frac{7}{10}AB$ получаем: $$AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{10} AB = \frac{7}{20} AB$$, то есть $\frac{AM}{AB} = \frac{7}{20}$.

Так как $AP$ является биссектрисой угла $A$, по свойству биссектрисы (теорема: биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон) имеем: $\frac{AM}{AB} = \frac{KM}{KB}$. Подставляя найденное значение, получаем: $\frac{KM}{KB} = \frac{7}{20}$.

Выразим площади треугольников $AKM$ и $ABK$. Так как у них общая высота $h$, опущенная на основание, то: $S_{AKM} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot h$ и $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot h$. Отсюда отношение площадей равно: $$\frac{S_{AKM}}{S_{ABK}} = \frac{KM}{BK} = \frac{7}{20},$$ то есть $S_{AKM} = \frac{7}{20}S_{ABK}$.

Поскольку треугольник $ABM$ состоит из треугольников $ABK$ и $AKM$, находим: $$S_{ABM} = S_{ABK} + S_{AKM} = S_{ABK} + \frac{7}{20}S_{ABK} = \frac{27}{20}S_{ABK}$$. Так как $S_{ABC} = 2S_{ABM}$, получаем: $$S_{ABC} = 2 \cdot \frac{27}{20}S_{ABK} = \frac{27}{10}S_{ABK}$$.

Наконец, отношение площадей треугольников $AKM$ и $ABC$ равно: $$\frac{S_{AKM}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{7}{20}S_{ABK}}{\frac{27}{10}S_{ABK}} = \frac{7}{20} \cdot \frac{10}{27} = \frac{7}{54}.$$ Таким образом, искомое отношение площадей равно $\frac{7}{54}$.