Задание 25 — №340065
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40 : 1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 30.
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40 : 1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 30.
Решение
- 1
Шаг 1. Обозначим точку пересечения биссектрис как $O$. Пусть на одной из биссектрис отношение отрезков, начиная от вершины, равно $AO:OE = 40:1$, что можно записать как $AO:OE = 40:1$.
- 2
Шаг 2. Рассмотрим треугольник $ACE$, в котором прямая $CO$ является биссектрисой. По теореме о биссектрисе, имеем: $\frac{AO}{OE} = \frac{AC}{CE}$. Подставляя известное отношение, получаем: $\frac{40}{1} = \frac{AC}{CE}$, откуда следует, что $AC = 40 \cdot CE$.
- 3
Шаг 3. Аналогичным образом рассмотрим треугольник $ABE$, где прямая $BO$ является биссектрисой. Применяя свойство биссектрисы, имеем: $\frac{AO}{OE} = \frac{AB}{BE}$. Подставляем отношение: $\frac{40}{1} = \frac{AB}{BE}$, откуда получаем, что $AB = 40 \cdot BE$.
- 4
Шаг 4. Заметим, что $CE+BE = BC$. Складывая равенства $AC = 40 \cdot CE$ и $AB = 40 \cdot BE$, получаем: $AC+AB = 40 \cdot (CE+BE) = 40 \cdot BC$. По условию, сторона $BC = 30$, тогда $AC+AB = 40 \cdot 30 = 1200$. Периметр треугольника $ABC$ равен сумме сторон: $AB+AC+BC = 1200+30 = 1230$.
Ответ: 1230