Задание 25 — №340325

Пусть $S$ --- площадь треугольника $ABC$. Так как $BM$ является медианой, треугольник $ABC$ делится на два равновеликих треугольника, откуда $S_{ABM} = S_{BMC} = \frac{S}{2}$.

В треугольниках $ABK$ и $ABM$ проведена общая высота к стороне $BM$, поэтому их площади относятся как основания $BK$ к $BM$. Из условия $BK:KM=4:1$ получаем, что $BK:BM=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}$. Тогда по формуле отношения площадей: $$S_{ABK}=\frac{BK}{BM}\cdot S_{ABM}=\frac{4}{5}\cdot \frac{S}{2}=\frac{2S}{5}$$.

Проведем прямую $MN$, параллельную прямой $AP$. Так как $M$ --- середина стороны $AC$, то по свойству средней линии треугольника $APC$ получаем: $PN=CN$.

Применим теорему Фалеса для треугольника $MBC$: $\frac{BP}{PN}=\frac{BK}{KM}=\frac{4}{1}$. Пусть $PN=x$, тогда $BP=4x$. Так, сторона $BC$ равна $BP+PN+CN=4x+x+x=6x$, откуда $\frac{BP}{BC}=\frac{4x}{6x}=\frac{2}{3}$.

Сонаправленность сторон треугольников $BKP$ и $BMC$ позволяет записать отношение их площадей как произведение отношений соответствующих сторон: $$\frac{S_{BKP}}{S_{BMC}}=\frac{BK}{BM}\cdot \frac{BP}{BC}=\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{15}.$$ Тогда $$S_{BKP}=\frac{8}{15}S_{BMC}=\frac{8}{15}\cdot \frac{S}{2}=\frac{4S}{15}$$. Поскольку $S_{KPCM}=S_{BMC}-S_{BKP}$, то $S_{KPCM}=\frac{S}{2}-\frac{4S}{15}=\frac{7S}{30}$.

Таким образом, отношение площадей треугольника $ABK$ и четырехугольника $KPCM$ равно $$\frac{S_{ABK}}{S_{KPCM}}=\frac{\frac{2S}{5}}{\frac{7S}{30}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{30}{7}=\frac{12}{7}.$$